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数学中的“得鱼忘筌” - 数学

  “荃者所以在鱼,得鱼而忘荃;蹄者所以在兔,得兔而忘蹄。”
  ——《庄子·外物》

  引言
  数学中的公理化方法可以追溯到古希腊时期的旷世名著《几何原本》,之后便被视为寻求真理的方法典范。到了二十世纪初,随着第三次数学危机的到来,数学家们则更像是找到了救命稻草一般,将公理化方法运用到极致,而数学自身的特点也将公理化至于至高无上的地位。于是,公理化方法成了现代数学的根本方法,在某种程度上,现代数学发展的过程,就是新的公理体系不断产生的过程。


  但是,现代数学中的公理化方法和古希腊时期的公理化方法却有着明显区别。《几何原本》中的那几条公理,都是直接从直观中总结出来的非常明显的命题。但是在现代数学中,公理体系的来源上却不是感性直观,而是对已有的数学对象进行总结,层层剥离,抓其本质,最终得到一系列作为证明前提的结论,而这些结论,则与直观相距甚远,如果不了解它的数学背景,那么读者只会觉得不知所云。
  公理化方法的优越性自不必说,看看当代数学日新月异的发展势头和书架上那让人眩晕的一排排大部头著作,就能明白公理化方法在多大程度上扩展了数学王国的领域。但是,这一方法在使人们更加深刻的把握本质的同时,却存在着很大的缺陷。我们获取公理的方法是抽象化,就是在某一大类数学对象的各种属性中去除一部分,而保留其中一些被我们视为是对象本质,所有对象所共有的的那些属性,这些保留的属性就是新体系中的一条条公理,以此得到新的公理系统。我们在获取新公理之后,就会以此作为一切证明的出发点,而对那些被抛弃的属性则不再理睬。无数数学家们艰苦卓绝的努力就由此因为几条无关看似痛痒的命题而被冷落一旁,这颇有点类似于庄子所说的“得鱼而忘筌”。问题的关键在于,那些被我们抛弃的命题里面不仅包含了无数才华横溢的数学家们最宝贵的智慧结晶,更包含了一个数学对象的原始动机,将它们丢掉,无异于如入宝山而空手归,我们无法从那仅剩的几条性质中窥探数学对象的真正内涵,当然更不能体会到先人们在数学的荆棘丛中跋涉的艰辛,我们也就很难对他们怀有那些本应有的景仰之情。我们得到了鱼,却将竹篓丢掉,等下次捕鱼的时候,一定会茫然若失!


  数学中到处都是这样的例子,我们可以从中体会到那些丢掉的东西对数学对象的感性理解有多么致命。
  1、实数:从构造到公理化定义
  对于分析学中最基本的概念——实数,传统数学分析课本中有一个十分沉闷而乏味的解释,即:完备的阿基米德有序域。从这个定义里面根本看不出任何思维的闪光点,初学者更会被这个“没头没脑”的定义搞得莫名其妙。事实上,从人们感性上意识到实数的存在到上述定义的提出,历经了两千五百多年,尤其是近二百年来,包括柯西(Cauchy)、波尔查诺(Bolzano)、魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、康托(Cantor)、皮亚诺(Peano)、戴德金(Dedekind)在内一大批才思卓绝的数学家们,经过苦苦探索,才最终精准地完成了实数系的构造工作,其中最著名的工作由戴德金完成,他的“戴德金分割”被数学家们惊为神作。然而,当耗尽了人类两千五百年漫长光阴得到实数的精确定义以后,我们却只从中挑出来四个词——“完备、阿基米德性、有序、域”,那些数学家们的伟大功绩却只字不提。当初为了证明确界原理等一系列定理所付出的努力只用“完备”二字便全部概括,试想,当初学者们面对这些词的时候,他又怎能体会到人类的才智有多么的伟大!不了解实数系那精美绝伦的构造性定义,又怎么能为人类理性取得如此巨大的成就而感到自豪。


  苏联数学家卓里奇Zorich在他著名的《数学分析》中说得好:
  “想象一下,如果你没有经历过从把苹果,方体或者其它的叫得出名字的实体相加的阶段到把抽象的自然数进行相加的阶段,你没有学习过对线段进行测量并最终得到有理数,你不知道古代人关于正方形对角线不能被它的边长约分,因此它的边长不是有理数,从而我们需要无理数这一伟大发现,你没有在测量过程中出现的更大和更小这些概念,你没有利用例如实直线这些东西来为你自己构想出顺序。如果所有这些基础工作都没有发生,那么你将会很难接受刚刚列出的公理是智慧探索的成果,它们将会被视为是一个非常奇怪的和随意的想象力的产物。”
  2、测度论:从Lebegue测度到测度
  二十世纪初分析学领域最惊天动地的大事就是勒贝格测度(Lebesgue measure)勒贝格积分(Lebesgue integral)的建立,伟大的数学家勒贝格克服Jordan测度的缺陷,创造性地用可数覆盖代替有限覆盖,重新定义了测度,为分析学的发展开辟了新的天地。这一成就被人们津津乐道,至今我们越来越能感受到勒贝格那天才的灵光闪现。测度的正则性定理、Egoroff定理,Lusin定理,Riesz定理,处处都透着勒贝格测度理论的精妙与和谐,让人为这样一个美妙的理论叹为观止。


  然而,再精妙的理论也会不可避免地走向抽象。现代测度论终于还是诞生了,数学家们用无比犀利的目光将测度简简单单地定义为满足可数可加性的集函数,而勒贝格测度仅仅被定义为满足平移不变性的博雷尔测度(Borel measure),只两句话就让勒贝格的理论全无用武之地。如今,当一个学习实分析或者概率论的学生看到课本上的“测度”二字时,恐怕无法体会到在二十世纪出那个风云激荡的年代数学家们走过了怎样的风雨路程。
  3、开集:从度量空间到拓扑空间
  开集的每一点都是内点,所以开集是连续统的最小单元,而实数系是连续统的唯一代表,因此,只用开集便可以完全描述实数系的各种涉及连续的性质。数学家们对实数集上开集和闭集的定义可以说是彻彻底底的说清了“连续”的本质,由此建立了一系列涉及连续的定理,最著名的就是每个大一学生都会遇到的闭区间上连续函数的性质。从中我们可以看出实数系的定义是多么的精妙。当然数学家们并不知满足,他们将开集从实数系推广到度量空间(metric space),因为度量空间强烈的依赖于实数系,因此这一推广并没有对开集所体现的连续性质造成损害,在度量空间中我们依然可以欣赏到开集是如何优雅的走进数学对象最本质的内涵中去。不过,当开集被数学家们进一步推广,直到拓扑空间(topology space)的产生之后,情况就变得完全不一样了。
  


  为了研究所谓的“几何图形在连续变换下的不变性质”,数学家们把开集抽象到了无以附加的高度,于是产生了拓扑空间。在这里,集合可以是任意集合,子集也可以是任何子集,只要满足前提给定的三个条件,我们悲剧的看到,拓扑空间里的开集已经丧失了一切有关连续的内涵。一旦离开了连续,我们根本就不知道“开集”究竟为何物而又从何而来,一切都只剩下一个名词而已,就好比一篇美文只剩下标题,一栋房屋只剩下围墙。如果不了解开集的原始定义,每个初学者在接触点集拓扑时,大概都会被这个概念搅得云里雾里。
  4、算子:从B(X)到C*-代数
  Banach空间X上有界线性算子的全体B(X)构成Banach空间,这是泛函分析里面一个基本并且十分优美的结论,这个定理的完整证明可以让人们对于泛函分析这门科目“窥一斑可见全豹”,而随着研究的深入,这一结论再次为抽象化铺平了道路。盖尔丰德(Gelfand)、冯诺依曼(Von Neumann)等数学大师的出现,使得算子代数应运而生。这一次大概是由于算子本身具有异常复杂的结构,抽象的结果并不像之前三个概念那样优美而简洁,所保留的作为公理的命题比较多。但是这样反而更让人对那几条叙述奇特的命题感到摸不着头脑。数学家们把B(X)抽象成为C*-代数,即赋予了对合映射并满足范数不等式的Banach代数,其中的对合映射是关键,它包含了一系列的公理前提,而这些前提全部来源于共轭算子的种种性质。如果读者对共轭算子不够了解,甚至对高等代数里的伴随矩阵也只是知之甚少的话,则只会在一大堆堆砌在一起的数学符号里迷失方向,更有可能丧失对整门课程的兴趣。


  5、同调:从拓扑到代数
  如果没有学习过代数拓扑,直接学习同调代数,或许在操作上并不会出现什么困难,但是,如果问起,为什么要把一系列Abel群放在一起做成一个链?为什么他们之间还要定义同态?更重要的是,为什么这一系列同态要满足“两次边缘为零”?当然还有,为什么要给这么一个稀奇古怪的东西取一个更加稀奇古怪的名字“链复形”?恐怕所有学生都会哑然失声,这些问题无法回答,学生也就会觉得这门课程索然无味,这恐怕便是抽象的恶果。事实上,同调(Homology)这个东西来源于代数拓扑,是由法国数学家庞加莱(Poincare)开创的,它有着强烈的几何背景。在代数拓扑中,每一个维度的几何空间都有一些最简单规则的几何图形,称为“单形”,由单形组成的更复杂的图形称为“复形”,而对每一个复形,我们都通过巧妙的手法定义了一系列Abel群以及其上的同态映射,并且证明了这些同态满足二次作用为零。这便是同调群的最初来源,而随着Elienberg,MacLane等人工作的展开,同调群被抽象了,它彻底摆脱了原始的几何背景,只剩下几条看似毫无根据的命题,这便是课本上链复形的定义。这个定义看起来是如此复杂,但它不过就是把代数拓扑中的定义原封不动的搬了过来,当然,几何背景的丧失导致了理解的困难,如果不学习代数拓扑而直接学习同调代数,其结果只能是相当于在建造空中楼阁。


  结语
  上述五个例子已经充分说明,抽象化在推进数学飞速发展的同时,又给数学造成了多么大的损失。面对这一状况,我们只能呼唤超人,这样的超人,不仅可以在纯粹理性的高度熟稔的将抽象的数学符号玩弄于鼓掌之中,不断到到新的高度,又可以对数学概念的原始内涵烂熟于心,来去自如,随心所欲,既能捕获大鱼,又随时随刻把竹篓背在身上,牢牢绑紧,永不丢弃。这样的超人,才是数学发展的最终希望!


  


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