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学习数学,除了关注知识定理,还要努力提高对思想方法的认识 - 数学

  数学思想方法是数学核心和精髓,其重要性不言而喻,自然也是中考数学的重要命题对象。我们对全国各地近几年中考数学试题进行纵向和横向的研究,你就会发现很多综合题都在考查数学思想方法,如典型的数形结合思想方法。
  数形结合思想一般是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想。
  在众多数学思想方法当中,数形结合思想应该是出现的面比较广,而且频率比较高的热点。跟数形结合有关的中考试题,主要考查了学生的审题和识图能力,图形是对信息更形象更直观的表现形式。处在信息化社会的今天,我们每天都被大量的图形信息包围,如何在众多的图形发现等量或不等式关系,或者是用函数关系去解决图形有关的问题等。
  换个角度来说,在数形结合思想方法的世界里,数是形的抽象概括,形是数的直观表现,通常情况下,数形结合思想有关的题型一般可以分为两类:
  一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;
  二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等。


  数形结合思想方法有关的中考试题分析,讲解1:
  如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
  (1)求抛物线的解析式;
  (2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形;
  (3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.


  考点分析:
  二次函数综合题.
  题干分析:
  (1)由定点列式计算,从而得到b,c的值而得解析式;
  (2)由解析式求解得到点A,得到AC,CD,AD的长度,而求证;
  (3)由(2)得到的结论,进行代入,要使以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形,必须满足的条件是AB∥=EF,那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标,然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中,即可判断出是否存在符合条件的P点.
  解题反思:
  本题考查了二次函数的综合运用,本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法.


  数与形是数学中的两个最基本的内容,每一个几何图形中都蕴涵着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过几何图形得到直观的反映和描述,所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。
  数形结合思想方法有关的中考试题分析,讲解2:
  如图,已知∠ABC=90°,AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点,直线BF与l相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
  (1)如果BE=15,CE=9,求EF的长;
  (2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
  (3)探求动点F在什么位置时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=√3CD,请说明你的理由.


  考点分析:
  相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;切线的性质;解直角三角形。
  题干分析:
  (1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得∠BCE=90°,∠BFC=∠CFE=90°,则可证得△CEF∽△BEC,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得EF的长;
  (2)①由∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,根据同角的余角相等,即可得∠ABF=∠FCD,同理可得∠AFB=∠CFD,则可证得△CDF∽△BAF;
  ②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF,根据相似三角形的对应边成比例,易证得CD/AB=CE/BC,又由AB=BC,即可证得CD=CE;
  (3)由CE=CD,可得BC=√3CD=√3CE,然后在Rt△BCE中,求得tan∠CBE的值,即可求得∠CBE的度数,则可得F在⊙O的下半圆上.
  解题反思:
  此题考查了相似三角形的判定与性质,圆的切线的性质,圆周角的性质以及三角函数的性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用。
  数形结合是通过"数"和"形"的相互转化研究问题的一种思想方法,运用数形结合的思想,可以将复杂、抽象的数量关系转化为简洁、直观的图形,更便于问题的解决;也可以将模糊、不精准的图像问题转化为具体的数据,使研究的结果更准确。

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