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小学数学中超实用的13种解题方法,学好数学不再难! - 数学

  


  极客君经常听到有家长反映说,孩子做数学题的时候很吃力,尤其是遇到应用题,经常找不到数量关系,不知道应该怎么做。
  这种情况怎么办呢?


  针对家长的这个问题,极客君把小学数学遇到的应用题进行了一次大的归纳,整理出13种解题方法
  只要记住并理解这13种解题方法,平时做应用题的时候就没有那么难了。
  家长一定要为孩子收藏起来!
  综合法
  综合法一般是指在思维过程中把对象的各部分联系成一个整体。
  从应用题的已知条件出发,运用已经学过的基本数量关系,选择两个相互关联的已知条件,求出一个新问题。
  再把求出的新问题与原来题中的已知条件合在一起,再求出另一个新问题,如此继续下去,直到求出所有的问题为止,这种思考方法就是综合法。
  这种方法由因导果,利于表达应用题,简单理解为:“执因索果”。
  

  例题
  先锋公司计划修一条800米长的堤坝,开始每天修筑38米,14天后,由于施工需要,每天比原计划修筑速度加快,结果剩下的堤坝只用了4天就完成了任务,剩下的平均每天比原计划多修筑多少米?


  解题思路:
  (1) 根据每天修筑38米和修筑了14天,可以求出已经修筑了多少米堤坝?
  (2) 根据已经修了多少米堤坝和计划修筑800米堤坝,可以求出还剩下多少米没有修完。
  (3) 根据剩下多少米没有修筑和剩下的4天修筑完,可以求出剩下的每天修筑多少米。
  (4) 根据后4天每天可以修筑多少米和原来每天修筑38米,可以求出平均每天比原来多修筑多少米。
  解 (800—38X14)÷4—38
  =(800—532)÷4—38
  =268÷4—38
  =67—38
  =29
  答:剩下的每天比原来多修筑29米。


  分析法
  分析法一般是指在思维过程中把整体分解为几个组成部分,从问题入手。
  根据数量关系,找出解答这个问题需要的两个条件;
  然后把其中一个或两个未知条件作为要解决的问题,再找出解答这一个或两个问题所需要的条件。
  这样逐步递推,直到所找的条件在应用题中都是已知条件为止。这种方法简称“执果索因”。
  

  例题
  某农机厂制造一批拖拉机,原计划每月制造120台,要6个月完成。结果提前一个月完成,实际每月制造多少台?
  解题思路:
  条件:“计划每月制造120台,6个月完成。”“结果提前一个月完成”。所求问题:“实际每月制造多少台?”
  分析数量间的关系。要求“实际每月造多少台?”


  首先要算出“这批拖拉机共多少台”和“实际几个月完成”。
  总台数÷实际完成时间=实际每月造的台数
  然后,列式解答:
  120×6÷(6—1)=144台


  假设法
  对于一些含有两个或两个以上未知数的应用题,直接使用题目的已知条件,往往很难解决。
  这时可以先假设要求的两个或几个量相等,或者先假设要求的两个量或同一种量。
  然后再按题里的已知条件进行推算,推算的结果必然与假设的条件有差异或矛盾,进一步寻找产生差异或矛盾的原因,消除差异或矛盾,最后找到正确答案,这种解题方法叫做假设法。
  

  例题
  笼子里有鸡和兔共30只,总共有70条腿,问鸡和兔各有多少只?
  解题思路:
  如果假设全是鸡,则30只鸡的腿数应为2×30=60(条),比题目中的条件少了70-60=10(条),因为每只鸡比兔少2条腿,所以,少了10条腿就说明有10÷2=5(只)兔,也可以假设全是兔,首先推算出鸡的只数。
  解法一
  假设笼中全是鸡,
  则30只鸡的脚数为:
  2×30=60(条)
  比题中的条件少了
  70-60=10条
  因为每只鸡比兔少了2条腿
  所以,少的10条腿就说明有
  10÷(4-2)=5(只)兔
  鸡的只数为:
  30-5=25(只)
  解法二
  假设笼中全是兔,
  则30只兔的脚数应为:
  4×30=120(条),
  比题中的条件多了
  120-70=50(条),
  因为每只兔比鸡多2条腿,
  所以,多了50条腿就说明有
  50÷2=25(只)鸡。
  鸡:4×30-70÷2=25(只)
  兔:30-25=5(只)
  答:这个笼子里装有25只鸡,5只兔。


  倒推法
  一道应用题中,如果给出了对未知量经过某些运算而得知的最后结果,在解题时就可以从这最后结果出发,运用四则运算中加与减、乘与除的互逆关系,从后向前推,一步步推算。
  最后得到所求的问题,这种思考方法叫做倒推法,也叫做还原法和逆推法。
  这种思考问题的方法比较常用,有些应用题按顺向处理比较困难,而且会使计算非常复杂,而采用倒推法往往要容易或简单的多。
  

  例题
  一个数减24加上15,再乘8得432,求这个数?
  解题思路:
  解:我们可以从最后的结果432出发倒着推想。
  最后是乘8得432,
  如果不乘8,那应该是432÷8=54;
  如果不加上15,应该是54-15=39;
  如果不减去24,那应该是39+24=63。
  因此,这个数是63。
  

  消元法
  在较复杂的应用题中,有的包含着两个或两个以上要求的量,解答时,先想法消去一个要求的量,再求出另一个量,然后求出消去的量。这种方法叫做消元法。
  常见的消元法有“加减消元法”“代入消元法”“比较消元法”。
  解题办法:利用条件简化法,设法将其中的一个未知量消去,先求出另一个未知量,进而求出消去的未知量。(等量代换、加减消元法、列表法)
  消元法解题步骤:
  分析题意
  列关系式
  以相加相减形式去掉一个未知数,再去求那个消去的未知数


  例题
  3双皮鞋和7双布鞋共值242元,一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱?
  解题思路:
  因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同,
  所以3双皮鞋的钱数与5×3=15(双)布鞋的钱数一样多。
  这样可以认为242元可以买布鞋:
  15+7=22(双)
  每双布鞋的钱数是:
  242÷22=11(元)
  每双皮鞋的钱数是:
  11×5=55(元)


  对应法
  在解题时寻求并利用已知条件之间及已知条件与未知条件之间的某种对应关系或对应数量的变化情况,去寻找解题途径,这就是对应法。
  解决这类问题的关键是要找到对应关系:
  有的对应关系没有直接给出,需要进一步的求解;
  有的时候还需要借助画图帮助理解,这样类型的题目可以培养学生发现数量关系式,从而使问题由复杂变简单的能力。
  例题
  某学校新收一批住校生,学校启用15间宿舍还有34人没住处,启用21间宿舍后学生不但都住进去了,有一间宿舍还能再住进去2人,这批学生共有多少人?
  解题思路:
  用15间宿舍——还有34人没处住
  用21间宿舍——还能再住2人
  分析:
  21-15=6(间)
  34+2=36(人)
  36÷6=6(人)
  21×6-2=124(人)
  或15×6+34=124(人)
  

  图解法
  图解法是应用线段或其他图形把题目中的已知条件和所求的问题表示出来,使问题具体、形象、易懂,数量关系显示清楚,从而得到解题的线索。
  尤其是解分数、百分数应用题时,几乎必须借助线段图才能找准比较量和分率的对应关系,才能正确得解答。
  例题
  托尔斯泰是俄罗斯伟大作家,享年82岁。他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。问托尔斯泰生于哪一年?去世于哪一年?(适于四年级程度)
  解题思路:


  从图18-5可看出,他在20世纪度过的时间是:
  (82-62)÷2=20÷2=10(年)
  由此看出,他死于1910年;
  他出生的时间是:
  1910-82=1828(年)
  演示法
  对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题, 利用身边现成的 东西,如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等,进行演示,使应用题的内容 形象化,数量关系具体化,这种解题的方法叫做演示法。
  例题
  一根绳子正好围成一个边长为 5 分米的正方形。如果用它围 成长是 8 分米的长方形, 问其宽应当是多少分米?
  解:
  对这道题一般同学都会用这样的方法解答:
  5×4÷2-8=2(分米)
  然而这并不是最简捷的解法,要用更简捷的解法,
  我们可以做下 面的试验:
  


  1.用一根细铁丝围成一个边长是 5 分米的正方形。
  2.把正方形的细铁丝从 C 点断开。
  3.把 ABC 那部分(或 CDA 部分)拉直,折出 8 分米长的一段 与另一段成 90° 的角。
  此时会看到 8 分米长的这一段是长方形的长, 与 8 分米长的边成直角的那一段是长方形的宽。


  到此,很容易得出,求长方形的宽也可以用下面的方法:5×2-8=2(分米)
  

  转化法
  解应用题时,如果用一般的方法暂时解答不出来时,就要变换一种方法去思考,或改变思考的角度,把问题转换成一个与他有关的问题去思考,从而达到化难为易的目的,使问题得到解决。这种办法就是转换法。
  例题
  晶晶三天看完一本书,第一天看了全书的1/4,第二天看民余下的2/5,第二天比第一天多看了15页,这本书共有多少页?
  解题思路:
  由题意得知,
  把“第二天看余下的2/5”转化成“第二天看全书的(1—1/4×2/5=3/10即可。
  所以15÷(1—1/4)×2/5-1/4=300(页)
  

  类比法
  类比法就是在求解一个问题的时候,运用已有的知识,经过联想一个其他类似的、熟悉的问题,用熟悉的方法来解答所需解答的问题。
  例题
  从时针指向3点整开始,经过多少分钟,分针正好与时针重合?


  代换法
  代换法是解应用题常用的一种思维方式,在有些应用题中,要求两个或两个以上的未知量,可以先分析这些未知量之间的关系,根据他们之间的关系,用一种量代替另一种量,这种解题方法叫做代换法,用代换法解题时,先要分析两个量之间的关系,再进行等量代换。
  例题
  工地用5辆大车和4辆小车一次共运来水泥42.5吨,已知每辆大车比每辆小车多运4吨,每辆大车和每辆小车各运来水泥多少吨?
  思路分析:
  题目中有两个未知数,解答起来有一定困难。但运用替换方法,把4辆小车换成大车,题目的解答就变得比较易:
  设每辆小车都多运4吨,那么小车运的吨数就和大车同样多了(也就是将小车都转换为大车了)。
  这时,4辆小车就会共增加运量4×4=16(吨)总共运的吨数就会增加到42.5+16=58.5(吨)。
  这58.5吨便是(5+4)辆大车运的水泥数,所以,每辆大车运来的水泥便是58.5÷(5+4)=58.5÷9=6.5(吨)每辆小车运来的水泥便是6.5-4=2.5(吨)显然,将大车转换为小车(即将小车去替换大车解题),也是可以的。
  

  参数法
  对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。
  设数法是解答小学数学应用题的一种常用的方法。有些较复杂的应用题,粗看似乎条件不足。但是,只要根据需要,假设一个适当的数据作为已知条件,便可使解题途径变得非常顺畅。
  例题
  牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供 10 头牛吃 20 天,可供 15 头牛吃 10 天,那么,可供 25 头牛吃几天?
  思路分析:
  ①根据“10 头牛可吃 20 天”,可算出共吃了 10× 20=200(份)
  ②根据“15 头牛可吃 10 天”,可算出共吃了 15× 10=150(份)
  ③都是吃完草,为什么一个是 200 份,一个是 150 份呢?因为多出的 10 天,草地上一直 在匀的长草。所以草地每天长的草为 (份)
  ④草地原来的草(不包括新生长的草),有多少份呢?(这是一个理解上的难点,可以按 照这种方式理解:草地每天长的草为 5 份,换句话说就是草地每天长的草刚好够 5 头牛吃。所 以不管是 10 头牛还是 20 头牛,先分配 5 头牛,只吃新长出来的草,那么剩下的牛吃的就全部 是原来的草了。)
  原来的草为:(10-5)× 20=5× 20=100(份) 或:(15-5)× 10=10× 10=100(份)
  ⑤现在来了 25 头牛,因为草地上新长出的草就足够养 5 头牛.只要计算剩下的 20 头牛吃原 有的草够吃多少天,便求得结果了. 100÷ (25-5)=100÷ 20=5(天)
  枚举法
  根据问题的要求,按照一定的顺序一一列举问题的答案,或者把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况,通过一一列出这些情况加以解决,最终达到解决整个问题的目的,这种方法叫做枚举法。
  例题
  印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码,这本书有多少页?
  思路分析:
  1.数码一共有10个:0、1、2……8、9。0不能用于表示页码,所以页码是一位数的页有9页,用数码9个。
  2.页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90,所以,页码是两位数的页有90页,用数码:2×90=180(个)   
  3.还剩下的数码:  
  1890-9-180=1701(个)  
  4.因为页码是三位数的页,每页用3个数码,100页到999页,999-99=900,而剩下的1701个数码除以3时,商不足600,即商小于900。所以页码最高是3位数,不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。1701÷3=567(页)   
  5.这本书的页数:9+90+567=666(页)
  

  写在最后
  在解应用题的过程中,如果要分析数量关系,也可以通过摘录、图解等辅助办法进行整理,学会使用工具,才能让解题更轻松!——极客君
  


  



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